Questo benchmark o, più italianamente, “caso-prova”, insieme ad altri più complessi, fu realizzato dal Prof. Claudio Chesi, del Politecnico di Milano, nel 1989 su una convenzione con la Apple Computer Spa per la quale la Softing aveva sviluppato MacSap (in seguito divenuto Nòlian). Con questa campagna di test si voleva garantire l’affidabilità del programma agli utenti.
Questo caso-prova ha quindi valenza più che altro “storica” anche se è uno dei pochi, a nostra conoscenza, che tratta di analisi lineare statica e dinamica di un telaio tridimensionale tipico delle strutture edili.
In questo caso prova si vollero inserire alcuni problemi tipici di queste strutture: piani assialmente rigidi, travi a sezione asimmetrica. Il modello quindi comporta l’uso di due tecniche numeriche momento diffuse per questo tipo di problemi: il così detto “master slave” per modellare relazioni cinematiche e l’elemento infinitamente rigido (Rigel nella terminologia di Nòlian) per modellare il nodo trave pilastro ove vi siano disassamenti che si possano ritenere non significativamente elastici e quindi infinitamente rigidi. Oltre a questo, vi è, ma di minor interesse, la gestione della sezione a elle e della rigidezza a taglio degli elementi trave.
Sia gli elementi finiti Trave usati che queste due tecniche sono oggi molto collaudati per cui non riteniamo più questo test un significativo e stressante banco di prova per programmi a elementi finiti attuali. Però alcuni programmi operano delle modellazioni automatiche soprattutto dei nodi rigidi trave pilastro per cui questo punto di riferimento certo, perché validato dal Politecnico di Milano, può aiutare a capire come un programma che non gestisca il modello a elementi finiti operi per affrontare i problemi anzi detti.
I risultati di questo test, come dicevamo, sono stati validati dal Politecnico di Milano e quindi, pur nella loro semplicità, sono un valido punto di riferimento anche per chi voglia capire come opera il proprio programma e voglia cimentarsi, se poco esperto, nel modellare una struttura sapendo “la soluzione”. Non c’è infatti elemento più stimolante, quando si comincia a fare dei modelli, di tentare di capire perché non si sono ottenuti, se questo accade, i risultati attesi e, cercando i propri errori di modellazione, imparare seriamente a modellare strutture.
Le dimensioni dell’impalcato sono in figura. Le unità di misura sono il metro e la tonnellata. L’interpiano, per 6 impalcati, è di 3.5 metri, eguale per tutti gli interpiani. Le travi hanno sezione 0.25x0.50, lo spessore sia del setto che delle ali della sezione ad L dei pilastri è 0.2. Il modulo di elasticità è 3,000,000 t/m2 e quello tangenziale è 1,304,349 t/m2.
Poiché le sezioni poligonali o rettangolari vengono pre-elaborate dai programmi che ammettono come immissione questi tipi di sezione, in questo caso-prova invece si usano sezioni assegnate tramite i valori esatti di inerzia e rigidezza la taglio. Questo è necessario perché nei test devono essere note tutte le caratteristiche del modello e nessuna può essere non conosciuta perché affidata a elaborazioni non esattamente note. La valutazione, a esempio, della rigidezza torsionale e della deformabilità la taglio non può essere fatta in “forma chiusa” e quindi nei programmi questi valori vengono valutati con formulazioni non rigorose, anche se in pratica accettabili, ma inaccettabili nei test.
I valori delle sezioni sono qui riassunti.
Elemento Area Aty Atz Jt Jy Jz
Travi 0.125 0.1042 0.1042 0.0001 0.000651 0.002604
Setti a L 0.800 0.4200 0.4200 0.0010 0.335700 0.335700
Setto Rett.0.400 0.3300 0.3300 0.0010 0.133333 0.001333
Il baricentro della sezione ad L è a 0.6 m dal vertice.
Le masse di piano, eguali per tutti i piani, e le forze orizzontali (eguali nelle due direzioni), assegnate entrambe ai nodi master, sono come segue:
Imp. Quota Mx = My Jr Fx = Fy
1 3.5 7.34 149.2 2.057
2 7.0 7.34 149.2 4.114
3 10.5 7.34 149.2 6.171
4 14.0 7.34 149.2 8.230
5 17.5 7.34 149.2 10.226
6 21.0 7.34 149.2 12.343
Se non si avesse la possibilità di assegnare direttamente questi valori ai nodi master, essi derivano dal peso proprio assegnato a tutti gli elemento considerando una densità di 2.5 t/m3 ed un carico uniformemente distribuito di 0.9 t/m per le travi esterne e di 1.8 t/m per quella interna. Sia le masse che le forze orizzontali sono calcolate secondo la normativa antisismica vigente nel 1989 in funzione di tali carichi.
I risultati più significativi sono i seguenti:
Modo Periodo
1 0.5377
2 0.5026
3 0.3027
Spostamenti nodali (nodi master) per la condizione statica di forza di piano in direzione X
Piano Spostamento x Spostamento y
1 8.269e-4 -1.282e-6
2 2.592e-3 -2.217e-6
3 4.783e-3 -2.784e-6
4 7.054e-3 -3.057e-6
5 9.198e-3 -2.184e-6
6 1.114e-2 -3.318e-6
L’analisi spettrale è stata effettuata con lo spettro di riposta della normativa allora vigente adottando una accelerazione spettrale di 0.981 m/s2. Per tale analisi si riportano le azioni taglianti al piede dei pilastri per l’azione dinamica in direzione x.
Elem Ty Tz
37 4.086e-01 4.341e-03
43 8.481e-01 5.745e-05
49 6.086e-01 7.119e-09
55 4.097e-01 3.437e-08
61 4.086e-01 4.341e-03
67 8.481e-01 5.745e-05
73 3.349e-01 5.200e-07
79 1.378e+01 3.055e-01
85 1.378e+01 3.055e-01
Questi valori sono ovviamente tutti positivi perché in media quadratica.
Solo per orgoglio professionale e memoria storica, riportiamo alcuni brani delle note conclusive di questo test del Prof. Claudio Chesi. Va tenuto presente che si era nel 1989 e i test erano iniziati nel 1988.
“MacSap (Nòlian) è dotato di una interfaccia grafica interattiva. Questa capacità del programma consente una sensibile riduzione dei tempi di assegnazione dei dati e del controllo dei risultati”.
“Le stampe in uscita di MacSap (Nòlian) sono complete e leggibili e contengono la completa descrizione del problema. Inoltre sia il programma che il manuale contengono tutte le informazioni per l’uso del programma e previste dalle istruzioni C.N.R. n. 10024-84 per i codici di calcolo.”
“Pertanto, nei limiti dei controlli eseguiti, si può asserire l’accuratezza numerica della soluzione calcolata da MacSap (Nòlian)”
